МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ
ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА И БИЗНЕСА

(ЧОУ ИМБ)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
________________Е.А.Мороз
«____»_____________2011г

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ

Математический анализ

Направление подготовки 080200 Менеджмент.
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр.
Форма обучения: заочная.


Москва, 2011




УМК составлен на основании федерального Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО).

Составители УМК:

___________________________  /доцент   Берков Н.А./

Учебно-методический комплекс утвержден на заседании кафедры 22 июня 2011 года


1. Цели и задачи дисциплины

1.1. Цели дисциплины

Математика, как наука о специальных логических (математических) структурах, - одна из научных основ и эффективный рабочий аппарат большинства общетеоретических, общеинженерных и специальных инженерных дисциплин. Математика необходима как для успешного изучения соответствующих дисциплин, так и для решения технологических, проектных, конструкторских и исследовательских задач, которые встанут перед выпускниками всех специальностей МГИУ в их практической деятельности. Курс математический анализ является базовым для всех естественных и инженерных дисциплин.

1.2. Задачи дисциплины

Овладение студентами базовыми знаниями по математике, необходимыми для решения различных математических задач возникающих при изучении последующих дисциплин.

2. Требования к уровню освоения дисциплины

2.1. Уровень освоения дисциплины

В результате изучения дисциплины студенты должны знать:

основные математические определения, их взаимосвязь;
современные численные методы решения прикладных задач;
наиболее важные теоретические вопросы и положения;
стандартные математические компьютерные пакеты, предназначенные для решения классических математических задач.

В результате изучения дисциплины студенты должны уметь:

решать математические задачи в пределах изучаемого теоретического материала;
самостоятельно разбираться в математическом аппарате литературы по своей специальности;
рационально выбирать современные численные методы;
использовать стандартные математические пакеты для решения математических задач.

2.2. Связь с предшествующими дисциплинами

Введение в математику.
Алгебра и геометрия.

2.3. Компетенции:

3. Виды учебных занятий по дисциплине и их объёмы (в часах)


Вид учебных занятий Всего Семестры

1
2
Общая трудоемкость дисциплины 288 (8 ЗЕ) 180
72
Аудиторная нагрузка 24 16
8
Лекции 16 12
4
Практические занятия (семинары) 8 4
4
Лабораторный практикум 0 0
0
Самостоятельная работа 264 164+36
64
Курсовой проект (работа) - - -
Вид промежуточной аттестации
экзамен
зачет

4. Содержание дисциплины

4.1. Тематическое содержание дисциплины

Тема 1. Производная функции одной переменной.
Производная, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения, частного двух функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Свойства дифференциала, инвариантность его формы. Производная как отношение дифференциалов. Приложение дифференциала к приближенному вычислению значения функции.

Тема 2. Приложение производной к исследованию функций.
Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции и построения графика.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Определение функции двух переменных, способы задания. Геометрическое представление функции двух переменных. Функции трех и n переменных. Линии и поверхности уровня. Поверхности второго порядка. Метод сечений. Предел функции двух переменных. Непрерывность. Точки и линии разрыва. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области. Частные производные 1 порядка и их геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования (формулировка). Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала, его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислением. Дифференцирование сложной функции. Формула Тейлора для функции двух переменных (без вывода). Решение систем нелинейных уравнений по методу Ньютона. Неявные функции. Теорема существования (формулировка). Дифференцирование неявных функций. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции нескольких переменных . Необходимые условия. Формулировка достаточных условий для функции двух переменных. Условный экстремум.

Тема 4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Интегрирование методом разложения, подстановкой, по частям. Интегрирование рациональных дробей путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Понятие об интегралах, не выражающихся в элементарных функциях. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении. Производная интеграла по переменной верхней границе. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла путем интегрирования по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла. Применение рядов к вычислению интегралов. Приложение интегралов к вычислению площадей, длины дуги и объемов, физические приложения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций. Интегральный признак сходимости числовых знакопостоянных рядов.

4.2. Разделы дисциплины и виды занятий

Раздел дисциплины Всего Количество часов
Самостоя- тельная работа Аудиторные занятия
Лекции Практи- ческие занятия Лабора- торный практикум
Семестр 1
Тема 1. Производная функции одной переменной. 90 82
6
2

Тема 2. Приложение производной к исследованию функций. 90 82
6
2

Семестр 2
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 36 32
2
2

Тема 4. Интегральное исчисление функций одной переменной. 36 32
2
2

Итого 252 228 16 8 0

4.3. Содержание дисциплины по видам занятий

4.3.1. Лекции

Раздел дисцип- лины (тема) Название лекции Кол-во часов
Семестр 1
Тема 1. Производная функции одной переменной.
6
Тема 2. Приложение производной к исследованию функций.
6
Итого 12
Семестр 2
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
2
Тема 4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
2
Итого 4

4.3.2. Практические занятия (семинары)


Раздел дисцип- лины (темы) Содержание практического занятия (семинара) Кол-во часов
Семестр 1
Тема 1. Производная, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения, частного двух функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Свойства дифференциала, инвариантность его формы. Производная как отношение дифференциалов. Приложение дифференциала к приближенному вычислению значения функции.
2
Тема 2. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции и построения графика.
2
Итого 4
Семестр 2
Тема 3. Определение функции двух переменных, способы задания. Геометрическое представление функции двух переменных. Функции трех и n переменных. Линии и поверхности уровня. Поверхности второго порядка. Метод сечений. Предел функции двух переменных. Непрерывность. Точки и линии разрыва. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области. Частные производные 1 порядка и их геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования (формулировка). Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала, его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислением. Дифференцирование сложной функции. Формула Тейлора для функции двух переменных (без вывода). Решение систем нелинейных уравнений по методу Ньютона. Неявные функции. Теорема существования (формулировка). Дифференцирование неявных функций. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции нескольких переменных . Необходимые условия. Формулировка достаточных условий для функции двух переменных. Условный экстремум.
2
Тема 4. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Интегрирование методом разложения, подстановкой, по частям. Интегрирование рациональных дробей путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Понятие об интегралах, не выражающихся в элементарных функциях. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении. Производная интеграла по переменной верхней границе. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла путем интегрирования по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла. Применение рядов к вычислению интегралов. Приложение интегралов к вычислению площадей, длины дуги и объемов, физические приложения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций. Интегральный признак сходимости числовых знакопостоянных рядов.
2
Итого 4

4.3.3. Лабораторный практикум

Не предусмотрено программой

4.4. Самостоятельная работа студентов

Номера недель Раздел дисцип- лины (тема) Вид самостоятельной работы Название (содержание) работы Кол-во часов
Семестр 1
1-14 Темы 1, 2 Самостоятельное изучение  N1 Выполнение индивидуальных заданий по теории функций одной переменной.Выполнение индивидуальных заданий по теории функций одной переменной.Подготовка к тесту по теории функций многих переменных.Подготовка к тесту по исследованию функций с помощью производной.
164
Итого 164
Семестр 2
1-17 Темы 3, 4 Самостоятельное изучение  N1 Выполнение индивидуальных заданий по теории функций многих переменных.Подготовка к тесту по теории функции многих переменных.Выполнение индивидуальных заданий по интегральному исчислению.
64
Итого 64

5. Текущий контроль успеваемости и промежуточная аттестация

5.1. Текущий контроль успеваемости

5.1.1. Контроль самостоятельной работы студентов

5.1.2. Текущий контроль знаний студентов

Текущий контроль знаний (ТКЗ) студентов (в часы лекций)
Раздел дисцип- лины (тема) Содержание ТКЗ Кол-во часов
Семестр 1
Тема 1 Выборочный опрос студентов на текущую тему.
1
Тема 2 Выборочный опрос студентов на текущую тему.
1
Семестр 2
Тема 3 Выборочный опрос студентов на текущую тему.
1
Тема 4 Выборочный опрос студентов на текущую тему.
1
Текущий контроль знаний (ТКЗ) студентов (в часы практических занятий)

Раздел дисцип- лины (тема) Содержание ТКЗ Кол-во часов
Семестр 1
Текущий контроль знаний в 1 семестре
Тема 1 Защита типового расчета. Компьютерный тест
1
Тема 2 Защита типового расчета. Компьютерный тест N1
1
Семестр 2
Текущий контроль знаний в 2 семестре
Тема 3 Защита типового расчета. Компьютерный тест
1
Тема 4 Защита типового расчета. Компьютерный тест
1

5.1.3. График текущего контроля успеваемости студентов

Семестр 1
Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
КТ

КТ







КТ

КТ







КТ








КТ

КТ








КТ


Семестр 2
Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
КТ

КТ










КТ

КТ










КТ








КТ


КТ








КТ




Виды текущего контроля
ЗКурсПр - Защита курсового проекта ; ЗКурсР - Защита курсовой работы; ЗЛР - Защита лабораторной работы; КТ - Компьютерное тестирование; Контр - Контрольная работа; ПТ - Письменное тестирование; ЗР - Представление и защита реферата; ПрЛР - Проверка и прием лабораторных работ; ПДЗ - Проверка и приём домашнего задания; ПрРГР - Проверка и приём расчётно-графической работы; ПГ - Проверка уровня готовности студента; ПрКТ - Промежуточное компьютерное тестирование; Опрос - Устный опрос

5.1.4. График самостоятельной работы студента

Семестр 1
Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
СИ

СИ1


Семестр 2
Недели 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
СИ

СИ1



Формы самостоятельной работы
РГР - Выполнение расчётно-графической работы; ДЗач - Диф. зачет; ДЗ - Домашнее задание; КурсР - Курсовая работа; КурсПр - Курсовое проектирование; ПЛР - Написание отчета и подготовка к защите лабораторной работы; ПТ - Подготовка к тестированию; ПОтч - Подготовка отчета по практике; Практика - Практика; Реферат - Реферат; СИ - Самостоятельное изучение; Соб - Собеседование

5.2. Промежуточная аттестация

1 семестр - экзамен
2 семестр - зачет

6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

6.1. Основная литература

1. Курс высшей математики :учеб. пособие для вузов Ч. 1.  / Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И. и др.; под ред. В.Б. Миносцева  МГИУ,  2007
2. Курс высшей математики :учеб. пособие для вузов Ч. 2.  / Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И. и др.; под ред. В.Б. Миносцева  МГИУ,  2007
3. Сборник типовых расчетов по высшей математике :учеб. пособие для вузов Ч.1.  / под ред. В.Б. Миносцева  МГИУ,  2007
4. Сборник типовых расчетов по высшей математике :учеб. пособие для вузов Ч.2.  / под ред. В.Б. Миносцева  МГИУ,  2007
5. Кесельман В.М.   Сдать тест по математике? Это просто...Тест по аналитической геометрии в пространстве, дифференцированию функций нескольких переменных и комплексным числам :учеб.-метод. пособие Т6-138.  / Кречетников А.Н., Пушкарь Е.А.  МГИУ,  2008
6. Кесельман В.М.   Сдать тест по математике? Это просто... Тест по вычислению пределов функций и исследованию сходимости числовых рядов :учеб.-метод. пособие Т6-148.  / Кречетников А.Н., Пушкарь Е.А.  МГИУ,  2008
7. Сдать тест по математике? Это просто...: тест по дифференцированию функции одной переменной :учеб.-метод. пособие Т6-137.  / Архангельский А.И., Кесельман В.М., Кречетников А.Н. и др  МГИУ,  2007
8. Сдать тест по математике? Это просто... Тест по интегрированию функции одной переменной :учеб.-метод. пособие Т6-139.  / Архангельский А.И., Кесельман В.М., Кречетников А.Н. и др  МГИУ,  2008

6.2. Дополнительная литература

Отсутствует.

6.3. Периодические издания

Отсутствует.

6.4. Ресурсы интернет

Отсутствует.

7. Средства обеспечения освоения дисциплины

Оборудование и аппаратура

  1. Компьютерные классы ГОУ МГИУ.

Приложения

Приложение 1

Методические рекомендации для преподавателя

Тема занятий Виды учебных занятий Средства обучения Методы обучения Формы текущего контроля Рекомендуемая литература
Тема 1 Лекции
Чтение лекций. Решение типовых задач
Компьютерное тестирование.
[1] c.199-218

Тема 1 Практическое занятие
Практические м/о
Компьютерное тестирование.
[6] c.5-25
[7] c.5-25
[4] c.5-25
[1] c.195-217

Тема 2 Лекции
Чтение лекций. Решение типовых задач
Компьютерное тестирование.
[3] c.45-89
[1] c.257-305

Тема 2 Практическое занятие
Практические м/о
Компьютерное тестирование.
[8] c.4-15
[5] c.12-45
[1] c.276-305

Тема 3 Лекции
Чтение лекций. Решение типовых задач
Компьютерное тестирование.
[2] c.3-97

Тема 3 Практическое занятие
Практические м/о
Компьютерное тестирование.
[2] c.17-102

Тема 4 Лекции
Чтение лекций. Решение типовых задач
Компьютерное тестирование.
[2] c.117-237

Тема 4 Практическое занятие
Практические м/о
Компьютерное тестирование.
[2] c.130-227

Приложение 2

Методические указания студентам для самостоятельной работы

Раздел дисцип- лины (тема) Вид самостоятельной работы Форма текущего контроля Необходимая
литература
Рекомендуемая
литература
Семестр 1
Темы 1, 2 Самостоятельное изучение  N1
Выполнение индивидуальных заданий по теории функций одной переменной.Выполнение индивидуальных заданий по теории функций одной переменной.Подготовка к тесту по теории функций многих переменных.Подготовка к тесту по исследованию функций с помощью производной.
Промежуточное компьютерное тестирование  N1
[3] с.45-78
Семестр 2
Темы 3, 4 Самостоятельное изучение  N1
Выполнение индивидуальных заданий по теории функций многих переменных.Подготовка к тесту по теории функции многих переменных.Выполнение индивидуальных заданий по интегральному исчислению.
Промежуточное компьютерное тестирование  N1
[3] с.324-364

Приложение 3

Дополнительные учебно-методические материалы по дисциплине

Список экзаменационных вопросов (вопросов для зачёта) по дисциплине
  1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Производные некоторых основных элементарных функций.
  2. Основные правила дифференцирования --- производные суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных. Производная элементарной функции.
  3. Логарифмическая производная. Производная функции, заданной параметрически. Производная неявной функции. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Угол между двумя кривыми. Приложение понятия производной к задачам физики.
  4. Дифференциал функции. Геометрический смысл и свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Повторное Дифференцирование.
  5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях - Ферма, Ролля, Лагранжа,Коши, Лопиталя. Примеры раскрытия неопределенностей с помощью правила Лопиталя.
  6. Многочлен Тейлора.Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Формулы и ряды Тейлора для некоторых элементарных функций и использование их для вычисления пределов и в приближенных вычислениях.
  7. Необходимое и достаточное условие монотонности функций. Локальный и глобальный экстремумы функций.
  8. Достаточный признак существования экстремума функции по высшим производным. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (глобальный экстремум). Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
  9. Ассимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Применение теории экстремума к решению задач.
  10. Отделение корня. Оценка приближенного значения корня. Методы уточнения корня. Метод половинного деления. Метод Ньютона.
  11. Предел функции двух переменных. Точка и линии разрыва. Функции непрерывные в ограниченной замкнутой области. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков.
  12. Полное приращение функции. Полный дифференциал. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Дифференцирование сложных и неявных функций.
  13. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
  14. Формула Тейлора функции 2-х переменных. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Численные методы поиска экстремума.
  15. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Внесение функций под знак дифференциала. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования - замены переменной, разложения, по частям.
  16. Интегрирование простейших элементарных дробей. Примеры интегрирования рациональных функций.}
  17. Универсальная тригонометрическая подстановка. Некоторые частные приемы нахождения интегралов, содержащих тригонометрические функции.
  18. Нахождение интегралов от иррациональных выражений. Рационализация функций с помощью тригонометрических подстановок.
  19. Определенный интеграл. Свойства, теорема существования. Производная по переменной верхней границе. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Физический и геометрический смысл определенного интеграла.
  20. Площадь, длина дуги, поверхность вращения. Объем тела по известным поперечным сечениям. Объем тела вращения. Длина дуги плоской кривой. Криволинейный интеграл по длине дуги. Поверхность тела вращения. Физические приложения определенного интеграла.
  21. Интегралы с бесконечными пределами. Интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов. Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов.